There exist at least two equivalence classes of $13\times 13$ complex Hadamard matrices represented by circulant Hadamard matrices (cyclic $13$-root matrices), inequivalent to the Fourier matrix $F_{13}^{(0)}$ [62]. Their dephased forms read: $$C_{13A} =\left[\begin{array}{lllllllllllll} 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& c^{-2}& c& c^{-3}& c^{-1}& c& c^{-1}& c^{-1}& c^{-1}& c^{-3}& c^{-1}& c& c^{-3}\\ 1& c& c^2& c& c^{-1}& c^3& c^3& c& c& c^{-1}& c^{-1}& c^3& c\\ 1& c^{-3}& c& c^{-2}& c^{-1}& c^{-1}& c& c& c^{-1}& c^{-3}& c^{-3}& c^{-1}& c^{-1}\\ 1& c^{-1}& c^{-1}& c^{-1}& c^{-2}& c& c^{-1}& c& c& c^{-3}& c^{-3}& c^{-1}& c^{-3}\\ 1& c& c^3& c^{-1}& c& c^2& c^3& c& c^3& c& c^{-1}& c& c^{-1}\\ 1& c^{-1}& c^3& c& c^{-1}& c^3& c^2& c^3& c& c& c& c& c^{-1}\\ 1& c^{-1}& c& c& c& c& c^3& c^2& c^3& c^{-1}& c& c^3& c^{-1}\\ 1& c^{-1}& c& c^{-1}& c& c^3& c& c^3& c^2& c& c^{-1}& c^3& c\\ 1& c^{-3}& c^{-1}& c^{-3}& c^{-3}& c& c& c^{-1}& c& c^{-2}& c^{-1}& c^{-1}& c^{-1}\\ 1& c^{-1}& c^{-1}& c^{-3}& c^{-3}& c^{-1}& c& c& c^{-1}& c^{-1}& c^{-2}& c& c^{-3}\\ 1& c& c^3& c^{-1}& c^{-1}& c& c& c^3& c^3& c^{-1}& c& c^2& c\\ 1& c^{-3}& c& c^{-1}& c^{-3}& c^{-1}& c^{-1}& c^{-1}& c& c^{-1}& c^{-3}& c& c^{-2} \end{array}\right] : \quad c = \left(\frac{-1+\sqrt{13}}{12}\right) + i \left(\frac{\sqrt{130+2\sqrt{13}}}{12}\right),$$ and $$C_{13B} =\left[\begin{array}{lllllllllllll} 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& d^{-2}& d& d^{-3}& d^{-1}& d& d^{-1}& d^{-1}& d^{-1}& d^{-3}& d^{-1}& d& d^{-3}\\ 1& d& d^2& d& d^{-1}& d^3& d^3& d& d& d^{-1}& d^{-1}& d^3& d\\ 1& d^{-3}& d& d^{-2}& d^{-1}& d^{-1}& d& d& d^{-1}& d^{-3}& d^{-3}& d^{-1}& d^{-1}\\ 1& d^{-1}& d^{-1}& d^{-1}& d^{-2}& d& d^{-1}& d& d& d^{-3}& d^{-3}& d^{-1}& d^{-3}\\ 1& d& d^3& d^{-1}& d& d^2& d^3& d& d^3& d& d^{-1}& d& d^{-1}\\ 1& d^{-1}& d^3& d& d^{-1}& d^3& d^2& d^3& d& d& d& d& d^{-1}\\ 1& d^{-1}& d& d& d& d& d^3& d^2& d^3& d^{-1}& d& d^3& d^{-1}\\ 1& d^{-1}& d& d^{-1}& d& d^3& d& d^3& d^2& d& d^{-1}& d^3& d\\ 1& d^{-3}& d^{-1}& d^{-3}& d^{-3}& d& d& d^{-1}& d& d^{-2}& d^{-1}& d^{-1}& d^{-1}\\ 1& d^{-1}& d^{-1}& d^{-3}& d^{-3}& d^{-1}& d& d& d^{-1}& d^{-1}& d^{-2}& d& d^{-3}\\ 1& d& d^3& d^{-1}& d^{-1}& d& d& d^3& d^3& d^{-1}& d& d^2& d\\ 1& d^{-3}& d& d^{-1}& d^{-3}& d^{-1}& d^{-1}& d^{-1}& d& d^{-1}& d^{-3}& d& d^{-2} \end{array}\right] : \quad d = \left(\frac{-1-\sqrt{13}}{12}\right) + i \left(\frac{\sqrt{130-2\sqrt{13}}}{12}\right).$$