$A_{15\Sigma}$

A set of complex Hadamard matrices of the form found by A. Chan and A. Munemasa [31]. Define $A_{15(x,y,z)} = I + xA_1 + yA_2 + zA_3$, where $$A_1 = \left[\begin{array}{lllllllllllllll} 0& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 1& 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 1& 0& 1& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 1& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 1& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 1& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 1& 0& 0& 0& 1& 1& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 1& 1& 0& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 1& 1& 0 \end{array}\right]$$ $$A_2 = \left[\begin{array}{lllllllllllllll} 0& 0& 0& 0& 1& 1& 0& 1& 1& 1& 0& 1& 1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 1& 0& 0& 1& 0& 1& 1& 0& 1& 0& 1& 1\\ 0& 1& 0& 0& 1& 0& 1& 1& 0& 0& 1& 1& 0& 1& 1\\ 0& 1& 0& 0& 0& 1& 1& 0& 1& 1& 1& 0& 1& 0& 1\\ 1& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 1& 1& 0& 1& 1& 1& 0& 1\\ 1& 0& 0& 1& 0& 0& 1& 1& 0& 1& 1& 0& 1& 1& 0\\ 0& 1& 1& 1& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 1& 1& 1& 1& 0\\ 1& 0& 1& 0& 1& 1& 0& 0& 0& 1& 1& 0& 0& 1& 1\\ 1& 1& 0& 1& 1& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 1& 1& 0& 1\\ 1& 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1& 1& 0& 0& 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 1\\ 1& 1& 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1& 0& 0& 0& 1& 1& 0\\ 1& 0& 0& 1& 1& 1& 1& 0& 1& 0& 1& 1& 0& 0& 0\\ 1& 1& 1& 0& 0& 1& 1& 1& 0& 1& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 1& 1& 1& 0& 0& 1& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0 \end{array}\right]$$ $$A_3 = \left[\begin{array}{lllllllllllllll} 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0 \end{array}\right]$$ are the adjacency matrices of the line graph of the Petersen graph, and $I$ is the identity matrix of dimension $15$. Vectors $\Sigma=(x,y,z)$ have the following properties:

  1. For $ \Sigma=\left(1,\frac{-7\mp\sqrt{-15}}{8},1\right) $ the matrix $ A_{15\Sigma} $ is the isolated one.
  2. Let $Z\in(0,2)$ be the unique real root the equation $$5Z^2+50=53Z \Longrightarrow Z=\frac{53}{10}-\frac{3}{10}\sqrt{201} $$ and let $z$ be a complex number that satisfies $$ z + \frac{1}{z} = Z \Longrightarrow z = \frac{53 - 3\sqrt{201} \mp i\sqrt{6\left(53\sqrt{201}-703\right)}}{20}. $$ Define $$ x = \frac{(31-5Z)z - 25Z + 155}{144} $$ and $$ y = \frac{(25Z - 155)z +5Z - 31}{144}. $$ The triplet $\Sigma=(x,y,z)$, where all components are of unit modulus, is the base for another isolated matrix $A_{15\Sigma}$.
  3. For $\Sigma=\left(\frac{5\mp\sqrt{-11}}{6},-1,\frac{5\mp\sqrt{-11}}{6}\right)$, where the signs are taken pair-wise and for $\Sigma=\left(\frac{-1\pm\sqrt{-15}}{4},\frac{-1\mp\sqrt{-15}}{4},1\right)$, where the signs are taken cross-wise, one cannot answer the question about isolation of $A_{15\Sigma}$.